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By Herbert Haf, Andreas Meister

Die partiellen Differentialgleichungen stehen im Mittelpunkt dieses Bandes. Die Themenauswahl orientiert sich dabei ganz gezielt an den Bedürfnissen des Anwenders. In den ersten Kapiteln werden die notwendigen Grundlagen der Funktionalanalysis dargestellt.

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Zeige: Das Gleichungssystem besitzt für beliebige b1 , . . , bn i,k=1 ∈ C eine eindeutig bestimmte Lösung. 2 Normierte Räume. Banachräume Bisher haben wir uns lediglich auf metrische Eigenschaften eines Raumes gestützt, also auf solche, die mit dem Abstand der Elemente des Raumes zusammenhängen. Dennoch sind wir schon zu einigen interessanten Anwendungen gelangt, wie der vorhergehende Abschnitt zeigt. Doch können wir uns mit dem Erreichten nicht zufrieden geben. Was uns noch fehlt, sind zusätzliche algebraische Eigenschaften: Im metrischen Raum (ohne Zusatzstruktur) können wir nicht rechnen (addieren, multiplizieren,.

Daß es einen solchen Punkt überhaupt gibt, ist keineswegs selbstverständlich. 11: Im metrischen Raum (R, d) mit d(x1 , x2 ) = |x1 − x2 | für x 1 , x2 ∈ R sei A das offene Intervall (0,1) und y = 2. In A gibt es keinen Punkt x0 , für den d(x0 ,2) minimal ist (wir beachten: 1 ∈ / A). Wir sind an hinreichenden Bedingungen interessiert, die uns die Existenz eines »bestapproximierenden« x ∈ A gewährleisten. 1 Metrische Räume 19 Fig. 7: Zur Bestapproximation kleinste reelle Zahl λ mit x ≤ λ für alle x ∈ A.

3 vollständige metrische Räume zur Verfügung stehen. 24) genau eine Lösung x0 , genannt Fixpunkt von T . 8 in Burg/Haf/Wille [23], wo der Spezialfall X = R behandelt wurde. Wir nehmen einen beliebigen (festen) Startpunkt x ∈ X und setzen x 1 := T x, x2 := T x1 , . . , xn := T xn−1 , . . 25) Auf diese Weise gewinnen wir die Folge {xn }, von der wir zeigen, daß sie eine Cauchy-Folge in X ist: Es gilt nämlich aufgrund der Kontraktionsbedingung d(x1 , x 2 ) = d(T x, T x1 ) ≤ qd(x, x1 ) = qd(x, T x) d(x2 , x 3 ) = d(T x1 , T x2 ) ≤ qd(x1 , x 2 ) ≤ q 2 d(x, T x) ..

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