By Ina Kersten

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C) Man zeige, dass die Eigenschaften (a) und (b) auch f¨ ur die in Aufgabe 9 definierte Topologie auf der Menge Spec(R) der Primideale eines kommutativen Ringes R gelten, wenn D(f ) = {p ∈ Spec(R) | f ∈ / p} f¨ ur f ∈ R ist. Aufgabe 24 Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. Sei α : V −→ W ein Morphismus von algebraischen Mengen V ⊂ K n und W ⊂ K m . Ferner sei α∗ : K[W ] → K[V ], ϕ → ϕ ◦ α , der zugeh¨orige K-Algebrahomomorphismus. Man zeige: (a) α ist stetig bez¨ uglich der Zariski-Topologie.

4) Jede abgeschlossenen Untergruppe von endlichem Index in G enth¨ alt G0 . Lineare Algebraische Gruppen, Universit¨ at G¨ ottingen 2007 56 3 Lineare algebraische Gruppen Beweis. 5 hat G nur endlich viele irreduzible Komponenten. Seien G1 , . . , Gm die irreduziblen Komponenten, die e enthalten. Zu zeigen: m = 1 . Es ist G1 · . . · Gm als Bild der Multiplikation stetig G1 ×· · ·×Gm → G1 ·. ·Gm irreduzibel. Also gibt es ein i ∈ {1, . . , m} mit G1 · . . 5(a) und e ∈ G1 · . . · Gm ist. Es folgt Gj ⊂ Gi f¨ ur alle j = 1, .

Sei K ein algebraisch abgeschlossener K¨orper. 14. 2) Der affine Raum F¨ ur jedes n ∈ N ist (K n , OK n ) =: An ein Beispiel zu 1). 3) Affine algebraische Variet¨ aten Eine affine algebraische Variet¨ at (oder kurz affine Variet¨ at) u ¨ber K ist ein geringter Raum der Form (V, OV ) mit einer algebraischen Menge V ⊂ K n und passendem n ∈ N , wobei OV (U ) f¨ ur eine offene Menge U ⊂ V wie folgt gegeben ist: Es ist V = V1 ∪ · · · ∪ Vm mit irreduziblen Komponenten V1 , . . 5 und also U = U1 ∪ · · · ∪ Um , wobei Ui = U ∩ Vi offen in Vi ist f¨ ur alle i = 1, .