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By Theodor Bröcker

Die ersten f?nf Kapitel dieses neuen Lehrbuchs entsprechen nach Inhalt und Methode dem normal einer modernen Vorlesung ?ber Lineare Algebra. Der Leser gelangt aber nachher direkt zu den grundlegenden Aussagen der Linearen Algebra bei Ringen. Die Darstellung ist von Anfang an anschaulich und geometrisch, sie schreitet behutsam voran in der Abstraktion. In dem Kapitel ?ber projektive Geometrie findet guy im reellen und komplexen Fall Diskussionen der projektiven R?ume und Quadriken, die inhaltsreich und wesentlich f?r die heutige Geometrie sind. Physiker finden eine Diskussion von Quaternionen, Pauli-Matrizen, orthogonalen und unit?ren Gruppen sowie der Lorentzgruppe und ihrer Spinordarstellung. Die Lorentzgruppe wird durch ein Kausalit?tsprinzip charakterisiert. Die topologische Beschreibung der Quadriken und die Charakterisierung der Lorentzgruppe finden sich in anderen Lehrb?chern nicht, die Erkl?rung der Lie-Theorie der niederdimensionalen klassischen Gruppen nur in h?heren Lehrb?chern. Die wichtigen und sch?nen klassischen Formeln f?r symmetrische Polynome im Zusammenhang mit Identit?ten f?r Endomorphismen stehen kaum anderswo so geschickt beieinander.

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Auch K* := K . . {O} mit der Multiplikation als Verknüpfung ist eine Gruppe. Da muss man eine Kleinigkeit zeigen - was nämlich? (Z, +) ist eine Gruppe, aber (N, +) nicht, es fehlt das Negative. 3) Symmetrische Gruppen. Sei M eine beliebige Menge und S(M) die Menge aller Bijektionen a : M -> M, auch Permutationen von M genannt, mit der naheliegenden Verknüpfung: Sind a, TE S(M), so ist a 0 T die Zusammensetzung aOT: M->M, ml---ta(T(m)). Mit dieser Verknüpfung ist S(M) eine Gruppe. Beweis. Seien p, a, T E S(M), dann ist (Assoziativgesetz): po(aOT)(m) = p(aoT(m)) = p(a(T(m))) = poa(T(m)) = (poa)oT(m) Das neutrale Element ist die Identität 1 : M a E S(M) ist die Umkehrabbildung a- 1 .

Es ist linear unabhängig, und wenn man es um irgendeinen der Vektoren WI, ... ,Wk verlängert, wird es linear abhängig. 6) Behaupt1lllg. (*) ist eine Basis. Es ist nur zu zeigen, dass (*) den Raum V aufspannt. Aber jeder Vektor Wj liegt in der linearen Hülle L(*) von (*). 4) um Wj verlängern, und es würde linear unabhängig bleiben, im Widerspruch zur Maximalität. Weil nun die wj's alle in L( *) sind und ihrerseits V aufspannen, folgt die Behauptung. Bleibt zu zeigen r ~ k. h. ohne Beschränkung der Allgemeinheit) die Nummerierung so, dass und schließen durch Induktion nach n.

Menge der affinen Unterräume zu U. x. x. v]. Man muss zeigen, dass dies wohldefiniert ist. xv] nicht von der Wahl der speziellen Repräsentanten v, w abhängen. xv]. 0 §4. Basen 37 Wo nun dies in Ordnung ist, ist das Nachprüfen der Axiome für Vektorräume ganz trivial, weil man ja nun alle Formeln mit festem v, w E V nachprüft, und die Axiome für V gelten. Übrigens: die Null von V/U ist der affine Raum [0] = U. Beispiel aus der Analysis. V sei die Menge der integrablen Funktionen IR, und U = {f 1 E Vi 1 J If(t)1 dt = o f : [0,1] --t O}.

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