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By Prof. Dr. Rolf Walter (auth.)

Inhalt
Inhalt: Aus der Algebra - Vektorr?ume - Feinstruktur spezieller Endomorphismen euklidischer Vektorr?ume - Multilineare Algebra - Affine und euklidische Geometrie - Quadratische Hyperfl?chen in der affinen und euklidischen Geometrie - Projektive Geometrie.

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A) betont. Jedem AE V* ist der Untervektorraum Kern A von V zugeordnet. Das Bestehen der Gleichung (A, v) = 0 bedeutet, daB der Vektor v in diesem Untervektorraum liegt, oder wie man sagt, mit ihm inzidiert. Deswegen nennen wir die Bilinearform (8) das Inzidenzprodukt, und ein AE V* und ein v E V heiBen inzident, wenn (A, v) = 0 gilt. a) in der Form: (9) (L*p, v) = (p, Lv). 3 Dualitat 39 Definition und Satz D. , u> = 0 ftiralle uEU} (11) Sl := {u E V I = 0 ftir aIle A E S}. Ul ist Untervektorraum von V*, Sl ist Untervektorraum von V.

Ufig al = ... = = ak = 0, so ist das Vektorsystem a1> ... , ak linear unabhdngig. Bei k = 2 sagt man statt "linear abhangig" auch proportional. Der Vektorraum V hat endliche Dimension n E N, geschrieben dim V = n < 00, wenn n die maximale Lange aller linear unabhangigen Vektorsysteme aus V ist. h. ein Vektorsystem a1> ... , an, so daB jeder Vektor u E V in der Form u = Xl al + ... + xna n mit eindeutig bestimmten Koeffizienten Xl, ... , xn E K dargestellt werden kann. Die Koeffizienten sind dann die Koordinaten von u in der Basis a1> ...

Beweis. Als Muster sei der Beweis von (iv) angeschrieben: (6) (L 2 o L l )* P = P 0 (L2 0 L l ) = (p 0 L 2) 0 Ll = (Lip) Dabei ist p E vj. Die librigen Beweise verlaufen analog. 0 Ll = Lf(Lip) = (Lf 0 Li) p. D Die Regeln (iii) und (iv) be sagen wiederum, daB die funktorielle Vorschrift (hier *) mit der Komposition vertraglich ist, allerdings unter Umkehrung der Reihenfolge. Folgerung C. 1st L: V --+ W Isomorphismus. so ist auch L *: W* --+ V* Isomorphismus. und es gilt: (7) (L*)-l = (L- 1)*. Beweis.

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