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By Marc A. Nieper-Wißkirchen

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N} durch die L¨osungen eines linearen Gleichungssystems gegeben sind. Zeige, daß dieses Gleichungssystem im Falle, daß R ein K¨orper ist und daß pi = pj f¨ ur i = j, eindeutig l¨osbar ist. 47 3 Lineare Gleichungssysteme Zun¨achst entwickeln wir einen Formalismus, mit dem wir diese linearen Gleichungssysteme in etwas kompakterer Form schreiben k¨onnen. Dazu stellen wir zun¨achst fest, daß das Gleichungssystem L durch die n · m Elemente A11 , . . , Anm ∈ R und die n Elemente c1 , . . , cn festgelegt ist.

Gegeben. Formal ist ein Element aus R[x] durch die Folge seiner Koeffizienten gegeben, also durch eine Funktion a· : N0 → R, k → ak , f¨ ur die gilt, daß ein n ∈ N0 existiert, so daß ak = 0 f¨ ur k > n. Die Menge R[x] kann also als Teilmenge der Menge aller Funktionen N0 → R konstruiert werden. Die letzte Bedingung formulieren wir auch so: Fast alle ak sind Null. 2. Sei R ein kommutativer Ring und a ∈ R ein Ringelement. Dann heißt das Polynom a, also das Polynom dessen nullter Koeffizient a ist und dessen u ¨brige Koeffizienten verschwinden, das konstante Polynom a.

Wir m¨ ussen also immer zwischen einem Polynom und der zugeh¨origen Polynomfunktion unterscheiden! 26. Sei R ein diskreter Integrit¨atsbereich. Der Grad1 deg f eines Polynoms f ∈ R[x] ist durch folgende Setzungen eindeutig definiert: deg(an xn + · · · + a0 ) := n falls an = 0 und deg 0 = ∞. Zeige, daß unter der Konvention, daß ∞ + n = ∞ = n + ∞ f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n, folgt, daß ∀f,g∈R[x] deg(f · g) = deg f + deg g. 27. Sei p ∈ R[x] ein Polynom u ¨ber einem diskreten Integrit¨atsbereich R.

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