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By Gerd Fischer

Dieses seit ?ber 25 Jahren bew?hrte, einf?hrende Lehrbuch eignet sich als Grundlage f?r eine zweisemestrige Vorlesung f?r Studenten der Mathematik, Physik und Informatik. F?r einen schnellen und leichteren Einstieg ist das Buch ebenfalls zu verwenden, indem die markierten Abschnitte weggelassen werden. Zentrale Themen sind: Lineare Gleichungssysteme, Eigenwerte und Skalarprodukte. Besonderer Wert wird darauf gelegt, Begriffe zu motivieren, durch Beispiele und durch Bilder zu illustrieren und konkrete Rechenverfahren f?r die Praxis abzuleiten. Der textual content enth?lt zahlreiche ?bungsaufgaben. L?sungen dazu findet guy in dem von H. Stoppel und B. Griese verfassten "?bungsbuch" (vieweg studium, Bd. 88)

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1 Mengen und Abbildungen 41 Bemerkung. quivalenzklassen A, A' entweder A = A' oder A n A' = fil, Beweis. Flir ein fest gegebenes a E X definieren wir A := {x EX: x ~ a} . Wir zeigen, daB A eine Aquivalenzklasse ist, die a enthalt. Wegen a a ist a E A, und es folgt A i= 0. Sind x, yEA, so ist x ~ a und y ~ a, also x ~ y nach A2 und A3. 1st x E A, y E X und x ~ y, so ist x ~ a, also nach A2 und A3 auch y ~ a und daher yEA. Damit ist gezeigt, daB a in mindestens einer Aquivalenzklasse enthalten ist.

Bemerkung. Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, d. h. fur Abbildungen f: X -+ Y, g: Y -+ Z und h: Z -+ Wist (h 0 g) 0 f = h 0 (g 0 f). Beweis. 1st x EX, so ist «h 0 g) 0 f) (x) (h 0 g)(f(x)) = h (g (f(x))) h «g 0 f)(x)) = (h 0 (g 0 f)) (x). o Vorsicht! a. nicht kommutativ. 1st f: JR -+ JR, g: JR -+ JR, so ist (f 0 g)(x) = x2 + 1 und (g 0 X 1-+ f)(x) = (x x2 , + 1)2, also fog =P g 0 f. Urn eine etwas andersartige Charakterisierung von Injektivitat und Surjektivitat zu erhalten, erklaren wir fUr jede Menge X die identische Abbildung idx : X -+ X , X 1-+ X • Lemma.

Fachen i-ten Zeile zur k-ten Zeile, wobei 0 ist. =1= ).. E lR und i =1= k Diese Urnformungen sind gerechtfertigt durch den Satz. Sei (A, b) die erweiterte Koejfizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems, und (A, b) aus (A, b) durch endlich viele elementare ZeilenumJormungen entstanden. Dann haben die Systeme A . X = b und A . X = b gleiche LOsungsriiume, in Zeichen LOs (A, b) = Los (A, b). Vorsicht! Man beachte, daB Spaltenumformungen eine vollig andere Wirkung haben, weil dadurch die Unbekannten "gemischt" werden.

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