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By Werner Greub (auth.)

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18. Lasen eines Gleichungssystems dUTch Elimination. Es sei jetzt ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten gegeben, + oc~ at ~l + a~ a~ ~l + ... + a~ ~2 + . . 17) 32 2. Kap. Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Dabei nehmen wir an, daB auf der linken Seite in jeder Zeile mindestens ein Koeffizient von Null verschieden ist. Speziell ist also in der letzten Zeile ein ex::' ungleich Null, etwa ex:;'. 18) • Setzt man dies in die ersten (m -1) Gleichungen ein, so erhalt man ein System von (m-1) Gleichungen mit (n-1) Unbekannten I I + exi ~I + IX~ ~I 'IX;"-l ~l + I I I + ...

Und P! z". A '" Aus diesen beiden Gleichungen erhalt man fur die Produktabbildung 1p p x. ~ P! z.. ~ und P! erklart. Man beachte, daB dieses nur dann definiert ist, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten ubereinstimmt. 23. Produkt linearer Selbstabbildungen. Wir betrachten jetzt speziell die Gesamtheit aller linearen Selbstabbildungen des Raumes A. Dann ist zu je zwei Abbildungen p und 1p eine Produktabbildung 1p cp definiert. Dabei kommt es auf die Reihenfolge an, d.

X' mittels der Transformationen X. = E A ex! XA bzw. , X', die fJ~ ~ zusammenhangen. } = b~ erhalt man zwischen den Matrizen (ex~) und (fJ~) die B~ziehungen EA ex~ fJr = b~ , die besagen, daB diese Matrizen zueinander invers sind. Zwei Paare dualer Basen hiingen somit mittels inverser Matrizen zusammen und umgekehrt erhiilt man aus einem Paar dualer Basen durch Transformation mit inversen Matrizen wieder ein solches. 30. Duale Abbildung. Wir betrachten jetzt neben A, A * ein zweites Paar B, B* dualer Riiume und eine lineare Abbildung cp von A in B.

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