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By Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister

Die partiellen Differentialgleichungen stehen im Mittelpunkt dieses Bandes. Die Themenauswahl orientiert sich dabei ganz gezielt an den Bedürfnissen des Anwenders. In den ersten Kapiteln werden die notwendigen Grundlagen der Funktionalanalysis dargestellt.

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0,1,0,0, . . } ∈ l p mit 1 an der Stelle k. 2 Normierte Räume. Banachräume Wir sind jetzt an solchen Räumen interessiert, in denen außer der linearen Struktur auch eine Metrik erklärt ist: ✶ linearer Raum ✏✏ ✏ ✏✏ ✏ X PP PP PP q metrischer Raum also eine Verknüpfung von algebraischen und metrischen Eigenschaften besteht. Sei X = (X, d) ein metrischer Raum und gleichzeitig ein linearer Raum. Die Metrik d erfülle zusätzlich die Bedingungen (i) d(x + z, y + z) = d(x, y) für alle Translationsinvarianz (ii) d(αx, αy) = |α|d(x, y) für alle Homogenität .

16 (k) β1 e1 + · · · + βn(k) en → β1 e1 + · · · + βn en = d für k → ∞ Annahme: d = 0. Dies hätte β1 e1 + · · · + βn en = 0 oder, da e1 , . . , en linear unabhängig sind, β1 = · · · = βn = 0 zur Folge, im Widerspruch zu |β1 | + · · · + |βn | = 1. Also ist d > 0 und für beliebige α1 , . . , αn gilt |α1 | + · · · + |αn | ≤ 1 α1 e1 + · · · + αn en . d Seien nun . a und . b zwei Normen in X . Wir zeigen: Es gibt ein C > 0 mit x a ≤ C x b für alle x ∈ X . Andernfalls gäbe es eine Folge {xk } mit xk a → ∞ für k → ∞ und x k b = 1.

26) durch Grenzübergang k → ∞. Bemerkung: Die Wahl der Startelementes x ist nur für die Konvergenzgeschwindigkeit der Folge {xn } gegen x0 von Belang. Anwendungen Der Banachsche Fixpunktsatz besitzt vielfältige Anwendungsmöglichkeiten, etwa auf algebraische Gleichungen, auf Differentialgleichungen und auf Integralgleichungen. Wir begnügen uns mit zwei Beispielen. I. Iteratives Lösen von linearen Gleichungssystemen Wir betrachten das reelle lineare Gleichungssystem n ξi − aik ξk = bi , i = 1, . .

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