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By Herbert Goering, Lutz Tobiska, Hans-Gorg Roos

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0 3 7 7 7 7 7. 7 7 5 Vereinbarungsgemäß nennen wir auch 2 μ μ μ 3 aii ai j aik μ μ 7 6 μ μ e A D 4 a ji a j j a jk 5 h μ ak j μ ak j μ akk Elementmatrix. Zur Berechnung von Elementmatrizen ist es günstig, die auftretenden Integrale auf Integrale über Einheitselementen oder Bezugselementen zu transformieren (Abb. 16). b m habe die Koordinaten (x m , y m ), b i werde abgebildet in (0, 0), b j in (1, 0) und b k in (0, 1). Dann gilt für die entsprechende lineare Abbildung Ä Ä Ä Ä x x x xi xk xi ξ D i C j y yi y j yi yk yi η bzw.

Die dem Knoten b m zugeordneten Funktionen sind in den neuen Koordinaten ξ1 η I 2 2 1Cξ 1C η wk D I 2 2 wi D 1 1Cξ 1 η , 2 2 1 ξ 1Cη wl D . 22 Transformation eines Parallelogramms auf das Einheitsquadrat. 12) E ist eine Matrix vom Format 4 Ä y l i xi l F2 D yi j x j i 4 mit und 2 F1 D 16 6 44 η 1 1 η 1Cη 1 η 3 ξ 1 1 ξ 7 7. 1Cξ 5 1 ξ Wir berechnen die Elementmatrix explizit für eine regelmäßige Rechteckvernetzung mit achsenparallelen Rechtecken und den Kantenlängen h x und h y . 12) 2 μ e Ah D 1 6h x h y i j 6 2h 2 C 2h 2 h 2x 2h 2y x y 6 6 2h 2x C 2h 2y 6 6 4symmetrisch k h 2x h 2y 2h 2x C h 2y 2h 2x C 2h 2y l 2h 2x C h 2y h 2x h 2y h 2x 2h 2y 2h 2x C 2h 2y 3 7 7 7 7.

Man erhält schließlich für die Elementmatrix 2 i j k α β γ 1 2 1 6 0 0 0 2 3 2 3 8 2 0 2 3 2 3 6 1 16 6 6 1 6 6 μ 2 e Ah D 6 6 6 6 4symmetrisch 0 4 3 8 3 3 7 7 7 0 7 7 7. 4 Die Elementmatrix für Rechteckelemente vom Typ 1 bzw. bilineare Viereckelemente Wir betrachten die lineare Abbildung Ä Ä Ä 1 x j C xl 1 xji x D C y 2 y j C yl 2 y ji xl i yli Ä ξ . η Man prüft leicht nach, dass die Punkte b i , b j , b l auf die Punkte ( 1, 1), (1, 1), ( 1, 1) abgebildet werden. Der Punkt ξ D 1, η D 1 wird abgebildet in den Punkt, charakterisiert durch Ä Ä Ä Ä x xi x j xi xl xi D C .

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