Download Erste Hilfe in Linearer Algebra: Überblick und Grundwissen by Oliver Deiser, Caroline Lasser PDF

By Oliver Deiser, Caroline Lasser

Das Buch wendet sich, wie die „Erste Hilfe in Analysis“, an Studienanfänger der Mathematik im Fach- und Lehramtsstudium. Es möchte den Übergang von der Schule zur Universität erleichtern und wertvolle Hilfestellungen während der ersten Fachsemester bieten. Es eignet sich als Begleittext der Grundvorlesung zur Linearen Algebra und zur Prüfungsvorbereitung. Behandelt werden:

- Mengentheoretisches Vorspiel

- Relationen und Abbildungen

- Algebraische Strukturen

- Vektorräume

- Lineare Abbildungen

- Matrizen

- Euklidische und unitäre Vektorräume

- Determinanten

- Eigenwerte

Der textual content bietet

- exakte Definitionen und Sätze

- kompakte und übersichtlich strukturierte zweiseitige Darstellungen

- zahlreiche Abbildungen zur Visualisierung von abstrakten Begriffen und Ergebnissen

- zahlreiche Beispiele zur representation, Aneignung und Vertiefung

- überblickartige Zusammenfassungen zu wichtigen Querschnittsthemen der linearen Algebra

- Ausblicke auf "Eigenwerte ohne Determinanten", "Eigenwerte ohne Fundamentalsatz", "Gershgorin-Kreise", "Matixnormen", "Matrixexponentiale", "Lineare Systeme von Differentialgleichungen"

- als Anhang kurze Darstellungen zu den Themen „Junktoren", "Quantoren“, "Zum Funktionsbegriff", "Zahlen", "Geometrische Grundlagen", „Die Axiome der Mengenlehre“

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Zu diesem Zweck ist es von den Algebraikern ins Leben gerufen worden: Genuss des Transfiniten ohne transfinite Zahlen. Obiger Beweis verwendet „wir wählen …“ und damit das Auswahlaxiom. Man kann zeigen, dass das Zornsche Lemma äquivalent zum Auswahlaxiom ist. Kapitel 2 Algebraische Strukturen 44 2. Algebraische Strukturen 2. 1 Halbgruppen Definition (Halbgruppe, Assoziativgesetz) Seien H eine Menge und ‫ ؠ‬: H2 → H eine (zweistellige) Operation auf H. Dann heißt das Paar (H, ‫ )ؠ‬eine Halbgruppe, falls gilt: (a ‫ ؠ‬b) ‫ ؠ‬c = a ‫( ؠ‬b ‫ ؠ‬c) für alle a, b, c ∈ H.

Wir schreiben f(a1 , …, an ) statt f((a1 , …, an )) für alle a1 , …, an ∈ A. Ist n = 2 und f ein Zeichen wie +, ⋅, ‫ؠ‬, …, so schreiben wir auch a + b, a ⋅ b, a ‫ ؠ‬b, … statt + (a, b), ⋅ (a, b), ‫( ؠ‬a, b), … für alle a, b ∈ A. Abgeschlossenheit einer Menge unter einer Operation Ist f : An → A eine Operation und B ⊆ A, so heißt B abgeschlossen unter f , falls f(a1 , …, an ) ∈ B für alle a1 , …, an ∈ B. (Abgeschlossenheitsbedingung) Abschluss einer Menge unter einer Operation Ist f : An → A und B ⊆ A, so setzen wir: 〈B〉 = 〈B〉f = „die ⊆-kleinste unter f abgeschlossene Obermenge von B“.

Alle anderen Elemente von A landen außerhalb von Y. 1. 7 Umgang mit Funktionen 31 Für f : A → B und g : B → C gilt g ‫ ؠ‬f : A → C, (g ‫ ؠ‬f )(a) = g(f(a)) für alle a ∈ A. Die Verknüpfung g ‫ ؠ‬f beschreibt die Hintereinanderausführung von f und g: zuerst f, dann g, also „g nach f “, obwohl g vor f steht. Sie ist assoziativ, h ‫( ؠ‬g ‫ ؠ‬f ) = (h ‫ ؠ‬g) ‫ ؠ‬f für alle f : A → B, g : B → C, h : C → D, sodass wir h ‫ ؠ‬g ‫ ؠ‬f schreiben können. Es gilt (h ‫ ؠ‬g ‫ ؠ‬f )(a) = h(g(f(a))) für alle a ∈ A.

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