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By Philipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

Dies ist der zweite Band von Algorithmische Methoden, ein Lehrbuch zur computerorientierten Begleitung der research und Linearen Algebra. Als mathematische Objekte dienen Funktionen, Matrizen und multivariate Polynome der Gliederung des Bandes. Neben den Grundlagen dazu werden die Darstellung der Objekte am computing device, wie etwa die Termdarstellung von Funktionen, sowie darauf definierte Grundoperationen wie zum Beispiel die Faktorisierung einer Matrix besprochen. Als roter Faden führt das Lösen der mit Hilfe der Objekte beschreibbaren Gleichungssysteme durch den textual content. Eine Besonderheit dabei ist das Lösen polynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Gröbner-Basen. Alle Lösungsalgorithmen werden anhand von Beispielen illustriert, die als in Matlab oder Mathematica ausführbare Downloads zur Verfügung stehen.

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Gilt zudem, dass f lokal Lipschitz-stetig in x¯ ist, so liegt sogar quadratische Konvergenzgeschwindigkeit vor. Beweis. Aus der Stetigkeit von f auf R und f (¯x ) = 0 folgt die Existenz von Konstanten 1 > 0 und c > 0 mit 1 ≤c |f (x)| für alle x ∈ (¯x − ¯ 1, x + 1 ). 56) Satz 40 I Funktionen von R nach R Nach dem Lemma von Seite 7 existiert zusätzlich ein |f (x) − f (¯x ) − f (x)(x − x¯ )| ≤ Sei nun wegen := min 1, > 0 mit − x¯ | für alle x ∈ (¯x − ¯ 2, x + 2 ). Gilt x (k) ∈ (¯x − , x¯ + ), so ist x (k+1) wohldefiniert, und 2 |x (k+1) − x¯ | = |x (k) − x¯ − = 1 2c |x 2 f (x(k) ) | f (x(k) ) 1 |f (x (k) ) − |f (x(k) )| f (¯x ) − f (x (k))(x (k) − x¯ )| ≤ 12 |x (k) − x¯ | ist auch x (k+1) ∈ [¯x − , x¯ + ].

Allerdings ist bei Realisierung des Sekantenverfahrens in Gleitkommaarithmetik die Gefahr der Auslöschung gegeben. Eine Kombination des Sekantenverfahrens mit dem Bisektionsverfahren führt auf die Methode der Regula Falsi41 . Dabei wird erneut eine Folge von Intervallen [a (k+1), b(k+1) ] = [a (k), x (k)] oder [a (k+1), b(k+1)] = [x (k) , b(k)] mit f (a (k+1)) · f (b(k+1)) < 0 erzeugt. Anders als beim Bisektionsverfahren wird x (k) jedoch nicht als Mittelpunkt von [a (k) , b(k)] gewählt, sondern als Nullstelle der durch (a (k) , f (a (k))) und (b(k) , f (b(k) )) gehenden Sekante, was zu x (k) = a (k) − (a (k) − b(k))f (a (k)) f (a (k)) − f (b(k) ) mit x (k) ∈ (a (k), b(k)) führt.

Dabei wird erneut eine Folge von Intervallen [a (k+1), b(k+1) ] = [a (k), x (k)] oder [a (k+1), b(k+1)] = [x (k) , b(k)] mit f (a (k+1)) · f (b(k+1)) < 0 erzeugt. Anders als beim Bisektionsverfahren wird x (k) jedoch nicht als Mittelpunkt von [a (k) , b(k)] gewählt, sondern als Nullstelle der durch (a (k) , f (a (k))) und (b(k) , f (b(k) )) gehenden Sekante, was zu x (k) = a (k) − (a (k) − b(k))f (a (k)) f (a (k)) − f (b(k) ) mit x (k) ∈ (a (k), b(k)) führt. Eine weitere Möglichkeit zur Lösung nichtlinearer Gleichungen besteht darin, nicht wie beim Sekantenverfahren nur durch die Punkte (x (k−1) , f (x (k−1) )) und (x (k−2) , f (x (k−2) )) zu interpolieren, sondern auch (x (k−2), f (x (k−2) )) zu berücksichtigen.

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