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By N. Bourbaki

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Le sous-groupe engendré par X et le sous-groupe stable engendré par X coïncident. COROLLAIRE 2. — Soient G un groupe et X une partie de G formée d'éléments deux à deux permutables. Le sous-groupe de G engendré par X est commutatif: L'ensemble Y = X u X -1 est formé d'éléments deux à deux permutables (I, p. 16, prop. 5) et la loi induite sur la partie stable engendrée par Y est commutative (I, p. 8, cor. 2). Si G est un groupe à opérateurs, le sous-groupe stable engendré par une partie de G formée d'éléments deux à deux permutables n'est pas nécessairement commutatif.

On dit que u est distributive relativement à la variable d'indice i si l'application partielle DÉFINITION xi H u(ai, , ai _ 1, xi, ai+ 1, , an) est un homomorphisme de Ei dans F quels que soient les a; fixés dans E. pour j e i. , an) = u(ai, , ai _ 1, xi, ai+1, , an) T u(ai, , ai _ 1, xi, ai+1, pour ai E Ei, . , ai _ E Ei _ 1, xi E Ei, xiEEi, ai + E Ei +1, . , an c En. (1) , an) Exemple. — Soient E un monoïde (resp. un groupe), noté multiplicativement. L'application (n, xn de N x E (resp. Z x E) dans E est distributive par rapport à la première variable d'après la formule x'n+n = exn (on munit N de l'addition).

2. Parties stables pour une action. Action induite 2. — Une partie A d'un ensemble E est dite stable pour une action oci—> fc, de 1-2 sur E si l'on a fOE (A) A pour tout oc E S2. Un élément x de E est dit invariant par DÉFINITION un élément oc de 1-2 si fa (x) = x. L'intersection d'une famille de parties stables de E pour une action donnée est stable. )(x), où x EX, n i 0, ai E 1-2 pour tout i. Remarque. — Soit E un magma, de loi notée T. On prendra garde qu'une partie A de E stable pour l'action à gauche de E sur lui-même n'est pas nécessairement stable pour l'action à droite de E sur lui-même; une partie A de E stable pour l'action à gauche (resp.

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