Download Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique by N. Bourbaki PDF

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce dixième chapitre du Livre d Algèbre, deuxième Livre du traité, pose les bases du calcul homologique.

Ce quantity est a été publié en 1980.

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Example text

Il existe un A-homomorphisme k : M" -+ N " tel que f = k" o a + P o k. En effet, posons g = f - B O k , on a Cela implique Ker g 3 Im a' = Ker a. Comme N" est injectif, il existe donc (X, p. 16, remarque) un A-homomorphisme k' : M" -, N" tel que g = k" 0 a, d'où le lemme. Lemme 2 bis. - Si, dans le diagramme commutatif de A-modules et d'homomorphismes on a Ker a = Im a', p O p' = O et si Nu est injectif; il existe un A-homomorphisme U" : M" + N" tel que u" o a = o u. Il suffit de poser u' = k ' , u = - k , f = O , f ' = O et k" = u" dans le lemme 1 bis.

Pour i E { 0, . ,n }, on définit l'application affine ii : A,-, + A, par ii(e,)=ek pour k ii et ii(ek) = e,, pour k > i. On note C,@, A) le A-module , où Z,(X) est l'ensemble des applications continues de A, dans X ; pour n < O, on pose C, = O. , n }, on définit l'application linéaire a,,i : C,(X, A) + C,-,(X, A) par Ônni(es)= e,,,, pour s E Z,(X), et on pose d,, = Z ( - 1)' Ônsi. On vérifie que , est un complexe. Son homologie est appelée l'homologie singulière de X à coefficients dans A et se note H(X, A) ou simplement H(X).

Application * Soit X un espace topologique admettant une décomposition cellulaire finie (cf. no 3). a) Soient K et K ' deux corps, posons b, = dim,(H,(X, K)) et bi = dim,,(H,(X, K')). On n'a pas nécessairement b i = hi, mais on a L ( - 1)' bi = L ( - 1)'b;. ulaires finies de X, et notons c, et le nombre de cellules de dimension n dans ces deux décoînpositions. On a , c) Avec les notations de a) et b), on a L ( - 1)' ci = Z(-- l)'b,. Les propriétés a) et b) résultent de c), et c) résulte de la prop.

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