By N. Bourbaki

Ce dixiÃ¨me chapitre du Livre d AlgÃ¨bre, deuxiÃ¨me Livre du traitÃ©, pose les bases du calcul homologique.

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Additional resources for Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique

Example text

Il existe un A-homomorphisme k : M" -+ N " tel que f = k" o a + P o k. En effet, posons g = f - B O k , on a Cela implique Ker g 3 Im a' = Ker a. Comme N" est injectif, il existe donc (X, p. 16, remarque) un A-homomorphisme k' : M" -, N" tel que g = k" 0 a, d'où le lemme. Lemme 2 bis. - Si, dans le diagramme commutatif de A-modules et d'homomorphismes on a Ker a = Im a', p O p' = O et si Nu est injectif; il existe un A-homomorphisme U" : M" + N" tel que u" o a = o u. Il suffit de poser u' = k ' , u = - k , f = O , f ' = O et k" = u" dans le lemme 1 bis.

Pour i E { 0, . ,n }, on définit l'application affine ii : A,-, + A, par ii(e,)=ek pour k ii et ii(ek) = e,, pour k > i. On note C,@, A) le A-module , où Z,(X) est l'ensemble des applications continues de A, dans X ; pour n < O, on pose C, = O. , n }, on définit l'application linéaire a,,i : C,(X, A) + C,-,(X, A) par Ônni(es)= e,,,, pour s E Z,(X), et on pose d,, = Z ( - 1)' Ônsi. On vérifie que , est un complexe. Son homologie est appelée l'homologie singulière de X à coefficients dans A et se note H(X, A) ou simplement H(X).

Application * Soit X un espace topologique admettant une décomposition cellulaire finie (cf. no 3). a) Soient K et K ' deux corps, posons b, = dim,(H,(X, K)) et bi = dim,,(H,(X, K')). On n'a pas nécessairement b i = hi, mais on a L ( - 1)' bi = L ( - 1)'b;. ulaires finies de X, et notons c, et le nombre de cellules de dimension n dans ces deux décoînpositions. On a , c) Avec les notations de a) et b), on a L ( - 1)' ci = Z(-- l)'b,. Les propriétés a) et b) résultent de c), et c) résulte de la prop.